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第7章还差一个人,电子科技大学随机过程复习笔记《随机过程及应用》第四章 平稳过程

发布日期:2021-11-30 19:23:50 作者: 点击:

下面将以本章的主要考点为主线,辅以课本习题(若有划分差异,还请多多包涵),目的在于提供类似提纲挈领的帮助,而非如何解题。其次以下为回忆内容为主,多有遗漏和不足还望指出(附加的答案并未校对)。下文的“类”指代考点类型。涵盖电子科技大学随机过程主要考点。

第一类 严平稳和宽平稳的证明

平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变(即与时间的起点无关)

a、宽平稳与二阶矩存在,可互推

1)通常 R(t,t+\tau) ,令t=0,得 R(\tau)=E[X^{2}(\tau)] ,详见定义4.1.2

2)严平稳过程的一维与初始无关,二维仅与时间间隔有关但与时间起点无关。

例题4.1.2 平稳过程的证明,二阶矩存在+自相关函数与起始点t无关。

习题四 第一题:

第七题:增加了trick,由于维纳过程需要对时间的讨论

注意一个细节: X(t+\tau)-X(\tau) ,关于t的函数,则是平移

X(s+\tau)-X(s) ,关于s的函数,则是差分

b、严平稳和宽平稳联系

严平稳是可差分的。即n维联合分布函数满足: F(t_{1},t_{2},...,t_{n};x_{1},x_{2},...,x_{n})=F(t_{1}+\tau,t_{2}+\tau,...,t_{n}+\tau;x_{1},x_{2},...,x_{n})

严平稳是宽平稳充要条件二阶矩存在。(定理4.1.1)

正态随机过程是严平稳过程的充要条件是它为宽平稳过程。(定理4.1.2)

严平稳的证明,一种常见情况

step1,证X(t)服从正态过程

step2, E(X(t))=0,E[X^{2}(t)]\infty 为宽平稳

step3,有定理可知为严平稳

第二类 平稳过程下的均方可导、均方连续和均方可积以及均方遍历性

其他略过,重点说下均方遍历性,这个重要知识考点:

推论一需要先根据第一类的方法证明是平稳过程,再证明自协方差的积分范围。

推论二很常用因为不需要求积分,但也是先证明平稳过程,根据自相关函数的极限来证明。

以例题4.3.7:

在11年真题中出现过对于均值均方遍历的数学意义和工程意义考察,这个还是要了解的:

从考查角度,本章的均方均值遍历性,基本锁定一道证明题,且有一定计算量。

关于遍历性再写几点:(详见第五章)

遍历性:统计结果在时间和空间上的统一性,表现为时间均值等于空间均值。

马氏链的遍历性,就是在极限状态下转移概率趋近于一个常数。

遍历状态:是马氏过程汇总,非周期的正常返状态,频繁返回某一个状态。

各态经历过程:集合所有统计平均值不随时间变化,从任一样本求得的时间平均值也与集合的统计平均值相同。

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